Lo que aprendimos de figuras Semejantes

En matemáticas, cuando dos polígonos están hechos a escala se dice que son polígonos semejantes. Los polígonos semejantes cumplen con dos condiciones:

a) Las medidas de los lados de uno de los polígonos son proporcionales a las medidas de los lados del otro.

b) Sus ángulos correspondientes son iguales.

Por ejemplo, el polígono PQRS es semejante al polígono ABCD:

a) Las medidas de los lados del polígono ABCD son proporcionales a las medidas de los lados del polígono PQRS.

el número 2 es la razón de semejanza del polígono mayor con respecto al menor. 

b) Los ángulos correspondientes son iguales:

Un caso particular, los triángulos

Aprendimos que para que dos polígonos sean semejantes deben tener:

• Los lados correspondientes proporcionales.
• Los ángulos correspondientes iguales.

En el caso de los triángulos, los criterios de semejanza permiten fijarnos en menos datos para estar seguros de que los triángulos son semejantes.

Basta que se cumpla sólo una de las siguientes condiciones: 

• Sus lados correspondientes son proporcionales,

o bien:

• Sus ángulos correspondientes son iguales.

Algunos de los ejercicios del subtema "Semejanza"

Hola muchachos.

Les subo las imágenes de los ejercicios que resolveremos en clase sobre SEMEJANZA. Los pueden bajar, imprimir y pegar en la libreta, para así más rápido explicar y resolver.

Recuerda que es muy importante que lleves siempre estuche geométrico (regla, escuadras, transportador) y cuando vayamos a requerirlo, el compás.

Si puedes, imprime algunas copias y pásalas a tus compañeros o amigos.

1. Se sabe que los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes. Utilizando los datos dados, calcular los faltantes.

2. Para cada uno de los siguientes ejercicios, encontrar los valores que se solicitan:

Un ejemplo de la solución de un sistema de ecuaciones

De nuevo retomo el Blog, para dejarles un paso a paso de la solución de problemas utilizando un sistema de ecuaciones y el método de sustitución. Espero les sea de utilidad.
Primero un resumen general del método:

1. Se despeja una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones. 

2. El valor de la incógnita despejada se sustituye en la otra ecuación. 

3. Se resuelve la ecuación resultante (ecuación de una incógnita). En este caso utilizando el método de factorización

4. El valor numérico obtenido para la incógnita que estamos resolviendo, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales, obteniendo así el valor numérico de la otra incógnita.

Ahora el ejemplo:

Solucionar

1. Se despeja una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones. Yo despejaré x de la primera ecuación.

2. El valor de la incógnita despejada se sustituye en la otra ecuación. 

3. Se resuelve la ecuación resultante (ecuación de una incógnita). En este caso utilizando el método de factorización. Para ello debemos dejar la ecuación expresada en su forma general.

Como el coeficiente de la variable al cuadrado es negativo, volverlo positivo multiplicando todo por -1.

Si se pudiera, se quita también el coeficiente de la variable al cuadrado, pero en este caso no. 

Ahora factorizamos, buscando dos binomios, tales que los primeros términos de cada binomio multiplicados, generen el primer término del trinomio; los segundos términos de los binomios produzcan el tercer término del trinomio y el primer término del primer binomio por el segundo término del segundo binomio, sumado al segundo término del primer binomio multiplicado por el primer término del segundo binomio produzca el segundo término del trinomio. 

Luego, despejamos y de cada factor y obtenemos las dos soluciones de la ecuación cuadrática:

          

4. El valor numérico obtenido para la incógnita que estamos resolviendo, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales, obteniendo así el valor numérico de la otra incógnita.

Por lo tanto obtenemos dos pares de números que dan solución al sistema planteado.

Solución 1:

x=15;  y=24/5

Solución 2:

x=12; y=6

Listo???

Espero que lo lean, por lo menos los muchachos de 3o A que me hicieron trabajar el día de hoy en mi momento de descanso.

Que pasen buenas noches!!

Ejercicios para estudiar para el examen parcial

¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

a) Un cuadrado es un paralelogramo.
b) Un rectángulo es un paralelogramo.
c) Un trapecio es un paralelogramo.
d) Un rombo es un paralelogramo.


Las diagonales de un trapecio isósceles

a) son perpendiculares y se cortan en el punto medio.
b) son perpendiculares y no se cortan en el punto medio.
c) no son perpendiculares y se cortan en el punto medio.
d) no son perpendiculares y no se cortan en el punto medio.


Una recta secante en una circunferencia pasa por dicha figura en

a) ningún punto.
b) un punto.
c) dos puntos.
d) tres puntos.


Una cuerda es un segmento de recta que

a) toca la circunferencia en un solo punto.
b) mide la mitad del radio de la circunferencia.
c) une los dos extremos del arco de circunferencia.
d) divide en dos una semicircunferencia.


¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

a) Un cuadrado es un paralelogramo
b) Un rectángulo es un paralelogramo
c Un trapecio es un paralelogramo
d) Un rombo es un paralelogramo


Las diagonales de un cuadrado:

a) Son oblicuas y se cortan en el punto medio
b) Son perpendiculares y no se cortan en el punto medio
c) No son oblicuas y se cortan en el punto medio
d) No son perpendiculares y no se cortan en el punto medio


Una recta tangente en una circunferencia pasa por dicha figura en:

a) Ningún punto
b) Un punto
c) Dos puntos
d) Tres puntos


Una cuerda es un segmento de recta que:

a) Toca la circunferencia en un solo punto
b) Mide la mitad del radio de la circunferencia
c) Une los dos extremos del arco de circunferencia
d) Divide en dos una semicircunferencia


¿Cuál es la expresión para calcular el área del triángulo a?

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) Los trapecios son cuadriláteros de lados paralelos
b) Los cuadrados son cuadriláteros de lados oblicuos
c) Los trapezoides son cuadriláteros sin lados paralelos
d) Los rectángulos son cuadriláteros sin lados paralelos


¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) Los lados opuestos de un romboide pueden ser paralelos
b) Los lados opuestos de un trapezoide pueden ser paralelos
c) Los lados opuestos de un triángulo pueden ser paralelos
d) Los lados opuestos de un escaleno pueden ser paralelos


¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero?

a) Cuatro
b) Ocho
c) Dos
d) Una


¿En qué cuadriláteros ambas diagonales se cortan en sus puntos medios?

a) Romboides
b) Trapezoides
c) Oblicuángulos
d) Paralelogramos


Figura cerrada que se compone de puntos que se encuentran a la misma distancia de otro llamado centro:

a) Cuadrado
b) Circunferencia
c) Rectángulo
d) Triángulo


Observa la siguientes figuras.
¿Cuál de las circunferencias anteriores tiene un recta tangente?

a) La uno
b) La dos
c) La tres
d) La cuatro


¿Qué tipo de ángulo forma la recta tangente a una circunferencia con el radio de la misma?

a) Agudo
b) Obtuso
c) Oblicuo
d) Recto


Son los ángulos que tienen el vértice sobre la circunferencia y los lados son rectas interiores a la circunferencia.

a) Inscritos
b) Circunscritos
c) Externos
d) Oblicuos


¿Qué tipo de ángulos son?

Sin usar transportador, determinen y anoten la medida de cada uno de los ángulos marcados en rojo.

Lección 12. Solución

1. Un agricultor quiere dividir un campo rectangular de 80m x 60m en 8 parcelas triangulares iguales. Explica cómo lo puede hacer:
1. Trazar las diagonales del terreno, encontrando así su centro, y además dividiendo el rectángulo en 4 triángulos de la misma área. aunque de diferentes dimensiones.
2. Trazar las perpendiculares que pasan por el centro, formando así el total de los 8 triángulos de iguales proporciones. Como se muestra en el diagrama siguiente:

2. ¿Cuál será el perímetro de cada una de las parcelas, sabiendo que el centro del campo, dista 50m de cada uno de sus vértices.

Si el terreno completo mide 80m de frente, uno de los catetos (lado recto) del triángulo medirá la mitad, es decir, 40m. Como tiene 60m de fondo, el otro cateto del triángulo medirá la mitad, es decir 30m. y como la diagonal del triángulo (llamada hipotenusa) mide 50m, entonces el perímetro será: P=40+30+50=120m (esto se puede observar contando los cuadritos del anterior modelo)

Encontrar el valor que se pide

• Romboide. Ya que los ángulos suplementarios suman 180°, y el ángulo C mide 125°, entonces el ángulo B se puede obtener de restar 125 de 180. (∠B=180-125)

• Cuadrado. Si el radio de la circunferencia inscrita es de 6.5 cm, entonces el lado del cuadrado es 13 cm, por lo tanto su perímetro será (13)(4)=52

• Los dos restantes, se los dejo a la imaginación! ;) 

¿Qué les parece esto?

Muchachos, dejo a su consideración este excelente instrumento geométrico, de un maestro mexicano, que muy ingeniosamente inventó un instrumento llamado "compás plano". Con él se pueden realizar todos los trazos de una manera sencilla y cómoda.
Vean los videos en Youtube, yo les dejo sólo el primero de ellos.
Estoy contactándome con el maestro, y muy probablemente compre la versión para maestros, pero hay una también para alumnos, que en caso de interesarles, podríamos pedir.
Vean y comentamos luego!

Planeación general de la semana 5 del primer bimestre (20 al 24 de sep)

Tema: 1.2 Formas geométricas
Subtemas:

• 1.2.1 Figuras planas. Triángulos congruentes y cuadriláteros (para recuperar la clase del 17 de septiembre)
• 1.2.2 Rectas y ángulos

Materiales: Libreta, libro de texto, para estas clases es muy importante que traigas a clase un estuche geométrico completo, que incluya un compás que se pueda graduar y sea estable y que las reglas y escuadras no estén quebradas. No importa el tamaño, lo importante es que puedas hacer las mediciones fácilmente.

Espero tu participación y que las dudas que se presenten las consultes durante las clases o por este medio.

Que sigas teniendo unos días bonitos de descanso.